ALGEBRA

MCM-MCD Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

MCD.(Maximo Comun Divisor)

• Factorizar el polinomio.
• Se toman los factores comunes con su menor exponente.

MCM(Minimo Comun Multiplo)

• Factorizar el polinonio
• Se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Una fraccion algeraica es una expresión fraccionaria en la que numerdor y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera  si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si la fracción se multiplica por x+2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

EJERCICIOS

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NÚMEROS  COMPLEJOS

Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número  y se designa 

 por la letra i.

                                  

Potencias de la unidad imaginaria

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

i²²

i²² = (i⁴)⁵ · i² = − 1

i²⁷ = −i

Números imaginarios 

Un número imaginario se denota por bi, donde :

b es un número real.

i es la unidad imaginaria.

Operaciones de complejos en forma binómica

Suma y resta de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i² = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

Ejercicios:

Calcular todas las raíces de la ecuación:

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                                MATRIZ

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Los elementos individuales de una matriz ${\displaystyle m}$ x ${\displaystyle n}$, a menudo denotados por ${\displaystyle a_{i}}$y ${\displaystyle a_{j}}$, donde el máximo valor de sus elementos (${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) en ${\displaystyle i}$ es ${\displaystyle m}$, y el máximo valor de ${\displaystyle j}$ es ${\displaystyle n}$. Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Ejemplo

Dada la matriz ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{4\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\\\end{bmatrix}}}$

es una matriz de tamaño ${\displaystyle 4\times 3}$. La entrada ${\displaystyle a_{23}\,\!}$ es 7.

La matriz ${\displaystyle R\in {\mathcal {M}}_{1\times 9}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}}$

es una matriz de tamaño ${\displaystyle 1\times 9}$: un vector fila con 9 entradas.

Operaciones básicas entre matrices

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma

Producto

Seamos un ejemplo más explícito. Sean  y 

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\ \,1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\,\,\,\,1(3)+0(2)+2(1)&\,\,\,\,1(1)+0(1)+2(0)\\-1(3)+3(2)+1(1)&-1(1)+3(1)+1(0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}$

EJERCICIOS:

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B;     A − B;     A x B;     B x A;     A^t.

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

¿Cómo podemos saber si una matriz tiene inversa?

El determinante de una matriz proporciona información para responder a esta pregunta.

Cuando vimos producto vectorial y mixto, habíamos definido determinantes de orden 2 y de orden 3. Recordamos aquí las fórmulas presentadas:

A cada matriz cuadrada puede asignársele un número real que llamaremos su determinante y designaremos como $det\left(A\right)$ o $\left|A\right|$ .

Para matrices $2\times 2$ y $3\times 3$ el determinante se calcula como sigue:

Para matrices $2\times 2$ y $3\times 3$ el determinante se calcula como sigue:

$$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\Rightarrow \left|A\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}$$$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\Rightarrow \left|A\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|–a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$$

Observación: El determinante no está definido para matrices rectangulares.

Ejemplo

El determinante de $A=\left(\begin{array}{ccc}3& –1& –1\\ 2& 1& 0\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ es:$$det\left(A\right)=3.\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right|–\left(–1\right).\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 2\end{array}\right|+\left(–1\right).\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 1\end{array}\right|$$$$det\left(A\right)=3.2–\left(–1\right).4+\left(–1\right).\left(–1\right)$$$$det\left(A\right)=11$$

La regla de Sarrus es una forma práctica de calcular determinantes, sólo aplicable para matrices de 

$3\times 3$

.

Consideremos el siguiente esquema en el cual agregamos al final de una matriz de 

$3\times 3$

las filas 1 y 2. 

El determinante se calcula sumando los productos indicados por las flechas que que van de izquierda a derecha y restando los productos indicados por las flechas que van de derecha a izquierda.

Determinante de una matiz triangular

Si $A\in R^{3\times 3}$ es triangular:$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right)$$

¿Cuál es la expresión de su determinante?

Podemos calcular el determinante de $A$ por la primera columna:

$$det\left(A\right)=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ 0& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}$$

Hemos llegado a la siguiente conclusión: si $A\in R^{3\times 3}$ es triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Esto se puede generalizar para matrices de cualquier orden: si $A\in R^{n\times n}$ es triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

$A\in R^{n\times n}$ triangular $\Rightarrow det\left(A\right)=a_{11}.a_{22}\dots a_{nn}$

Teniendo en cuenta que la matriz identidad es triangular, se deduce que:

$$det\left(I\right)=1$$

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