GEOMETRIA

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas, no necesariamente paralelas, son cortadas por un sistema de rectas paralelas, entonces los segmentos que resultan sobre una de las dos rectas son proporcionales a los correspondientes segmentos obtenidos sobre la otra.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ

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El teorema de la bisectriz del ANGULO interno de un triangulo es un teorema de la geometria elemental la cual es una consecuencia o corolariodel teorema de thales.

En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.

O lo que es equivalente:

Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción: ${\displaystyle {\frac {BA}{AC}}={\frac {BD}{DC}}}$

TEOREMA DE CEVA

El teorema de Ceva es un teorema de geometria elemental. El teorema establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente, los segmentos AD, BE y CF son concurrentes.

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,}$

donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo).

TEOREMA DE MENELAO

El teorema de Menelao, atribuido a menelao de lejandria, es un teorema acerca de triangulos en geometria plana A, B, C que forman el triángulo ABC, y los puntos D, E, F que se encuentran en las líneas de BC, AC, AB, entonces el teorema establece que D, E, F son colineales si o si.

${\displaystyle {\frac {EA}{EC}}\cdot {\frac {DC}{DB}}\cdot {\frac {FB}{FA}}=1}$

Ejercicios:

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RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

Las relaciones métricas en el triangulo son aquellas que tratan los vínculos entre lados o ángulos, entre los cuales se destaca el Teorema de pitágoras que es válido exclusivamente en el triangulo rectángulo y se aplica sobre la longitud de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos del ángulo.

Fórmulas para calcular en un triangulo rectángulo, un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al angulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos.

c es la hipotenusa

h es la altura relativa a la hipotenusa,

p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa,

se cumplen las siguientes propiedades:

• Un cateto es media proporcional- o bien media geométrica-¹​ entre la hipotenusa y la proyección ortogal de este mismo cateto sobre la hipotenusa:

${\displaystyle a^{2}=c\cdot p\,}$

${\displaystyle b^{2}=c\cdot q\,}$

Comprobación

el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {q}{b}}}$

despejando

${\displaystyle b^{2}=c\cdot q\,}$

• El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:

${\displaystyle h^{2}=p\cdot q\,}$

Comprobación

el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:

${\displaystyle {\frac {q}{h}}={\frac {h}{p}}}$

despejando:

${\displaystyle h^{2}=p\cdot q\,}$

• El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}$

Comprobación

del teorema anterior:

${\displaystyle a^{2}=c\cdot p\,}$

${\displaystyle b^{2}=c\cdot q\,}$

sumando ambas ecuaciones:

${\displaystyle b^{2}+a^{2}=c\cdot q+c\cdot p\,}$

luego

${\displaystyle b^{2}+a^{2}=c(p+q)\,}$

pero p+q=c

${\displaystyle b^{2}+a^{2}=c\cdot c\,}$

finalmente

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}$

• El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:

${\displaystyle a.b=h\cdot c\,}$

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EJERCICIOS DE RELACIONES MÉTRICAS

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Relaciones métricas en una circunferencia

Se da cuando en una figura es posible relacionar de alguna manera las medidas de sus distintos elementos tales como : lados, alturas, diagonales, etc. Es ahí cuando se ha obtenido una relación métrica en dicha figura

Relaciones métricas en una circunferencia: 

1. Teorema de la cuerda.
2. Teorema de la secante.
3. Teorema de la tangente.
4. Teorema de inradio.

Teorema de la cuerda

Si dos cuerdas se cortan, el producto de los segmentos en una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra

Teorema de las tangentes

Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes. Los segmentos comprendidos desde dicho punto y los del contacto, son iguales. 

Teorema de la secante

Si trazamos dos secantes desde un punto exterior a una circunferencia, entonces el producto de una de las secantes por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.

Teorema del inradio
La suma de los dos catetos es igual a dos veces el radio más
la hipotenusa.

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